/Width 300 Exercices de Math´ematiques Sommes de coefficients binomiaux (II) Enonc´es´ Enonc´es des exercices´ Exercice 1 [Indication] [Correction] Soient n,p,q,r,s des entiers naturels, avec p ≤ r, q ≤ s, n ≤ r +s. <>stream �F�Ip���I��}�P������� 44 0 obj Vous pouvez ajouter ce document à votre ou vos collections d'étude. Neuf exercices de difficulté graduée sur les coefficients binomiaux (fiche n° 1). Calculer chacune des sommes : Soient deux nombres réels. endobj endobj :5*S��4�ot����jI�F��������A�41,3��I�!�>|�À~踟�#~��x��DoW�aPJ��Z�f�6����y:�:�?^�: G���B����^ξ.#���x����#%!<0*�oǧ'�J��s��A�"�Ңh6��࠵(�P���P�t /Filter /FlateDecode Calcul de la somme de l’inverse (n – p)! /Subtype /Image ��#��i#�������\���,�'z@3�i�7���ҘZ�ML�e��+��լ�z�X8�U�@�*�m�>�2��ث��G�����V#� Vous pouvez ajouter ce document à votre liste sauvegardée. 6 0 obj %PDF-1.6 %���� BD - COEFFICIENTS BINOMIAUX ... Si r est compris entre 0 et n+m, les termes de la somme sont non nuls lorsque k est compris entre 0 et n et r −k entre 0 et m. On obtient donc (20) n+m r = min(Xn,r) k=max(0,r−m) n k m r −k . Montrer que, pour tout entier , la valuation p-adique de et celle de sont égales. Prévenez-moi de tous les nouveaux commentaires par e-mail. 2. &��x�q����k4c8��R�Α{�e�d���AI���`�'V�FAG��R���#�n�V�q ���*��yy��� �fN�/t��6#o׼Ջ���l'L�zf����3fv�je�X�zqj�9��'�m����v�(�����]��M7�ؙ�L[�YU�����v�L]&�{������5��x�vs� 2 Sélection des termes d’une somme de coefficients binomiaux ⊲ Exercice 2.1. Un chapitre entier sur les coefficients binomiaux semble essentiel car ils sont très utilisés en probabilité évidemment mais aussi en analyse. 3 0 obj Montrer que, pour tout l’entier est divisible par. �Ff�e5���LM���G£�Cx����>9�W���c=�1eR����I�7@Ʃ�H�U�>�A�O��A*��A�}���mV��]�=�n�[���m�,��Wt\���@߁Ma���(�~��vܻ�����K��> �n]�n��~��O��[���7fPYo^���@���m���. Exercice 2. 35 0 obj ��Z��?���a|�������%lC&s%�;�A%)m>x-��0ES� Challenge 40 : continuité et injectivité font-elles toujours bon ménage ? endobj Author: JMF Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles. ��*U��⥥���CBℸ�f�%���s��a����\sf��}�Gf��$�=��|Bb�Bb�C"�bb���#���]]������7680.$�C�O�GH En déduire Xn k=0 k n k sin(kx) et Xn k=0 n k cos2(kx). flight re : Somme de coefficients binomiaux k pair 26-09-14 à 19:09 salut (1+x)^n = C(n,k).x^k pour k compris entre 0 et n , si on decompose cette somme en somme de termes pairs Exprimer sans symbole somme l'expression suivante ∑ k=0 n (k parmi n) 2 k; Démonstration de formules. un autre formulaire >? ;����BLT��`��'D�\� �^��������_�v2ǒbӎ�k��6��,d���}K1��挓����ǯlw�����*����Gl�s�x�����e�8/��/�h_�1ˊ� 皫��`"M_�e������/�E�bbJAo ��Mw�-��c�+��ʑ�dX��r�s���r�'ͬt��ծ M�Y��.�S��WMkgBs�D���yٻ�kz�r"�~]�ߌ���!������W����}]n�g���������c���~k���Ú�nx)��}v~��{ޡ 6D�LL8��rr����4���^NPN���׶\L�B9��r5y}�_�xh �DT�6}2�@L��y��؜a5��_��@K�{[]��c b�BOfW�WЃ��U�-������%q~�� �l��9E��>jz y�TY�1�} Il est donc clair que : 1. si , alors Nous aurons enfin à utiliser le : }e�6���1�Jt��˾|L��3Ī�|>�w#G���7P�D��6VQ���������k�C��@�_gŪ{�1�f�Spk��K,���+���@��]��Ң�����׍0�h�m��;�n^� �X�)�ͦ���1�)�X� ��s��Ͽ����e����������l���ꉨ Corrigé : En dérivant telle que , on obtient Puis par intégration, et donc . On rappelle que, par définition : On pourra procéder par récurrence ou bien appliquer la méthode décrite à la fin de cet article. Calculer, pour tout n ∈ N∗, les quantités suivantes : I n = ⌊n−1 X2 ⌋ k=0 (−1)k n 2k +1 et R n = ⌊n X2 ⌋ k=0 (−1)k 2k . <>stream Par l’hypothèse de récurrence, On termine par la formule du triangle de Pascal : . Calculer les factorielles des dix premiers entiers. '���g�c�f�^b����C�}��� ���Ю:h���X����s� ��f�1"�x�h���u�+3��f��c�9-qÿ5X�pw��Q�t��-Vy��O�(��~�������Q�|���K;���X����(#ӏ�Ro��h5Q��Q՗3��9�+���׬e�@s��5��L�!u��]T�����|� ���i���:�ma��#v�bMgo)�v�2RbSI��,=]-��������ή����e!��i��ۓ_U���?2�c��(���SY%��f�('�>�iG#�^�@�zC+ҝ����}��7F�;���9%(���!,0(l�J�s�eJ �S���F-VF�T���u�|Z�@x�D� stream Des entiers cachés Appliquer la formule du binôme et grouper les deux sommes. %���� et T = n k=0 1 k +1 n k!. 7 0 obj ��!sH�]��� 1 CHAPITRE Calcul algébrique On rappelle le vocabulaire élémentaire associé aux sommes Xn k=m uk et aux produits Yn k=m uk d’un nombre fini de termes : •kest l’ indice de la somme ou du produit, •met nsont les bornes respectivement inférieure et supérieure de la somme ou du produit, •uk est le terme général de la somme ou du produit. Exercice 1 Si , calculer et . X� �J:�݋��eYFV�2���PL�̠W"MY�G~]�5�R��?�)}Xǖ�0.�A����䎖���-zwùD�U�lCDRp��p�A��.��{:��o�KM�X�:�}L�b�˂���.��a����֏�JC�r:�R��^�+�s���HG&X��o�N{��䬗���(rLi3Pc����ٽ���a��. 319 0 obj <> endobj En d´eduire la somme des carr´es des coefficients du binˆome. endobj �Z�h���! 7 0 obj endstream Xn k˘1 sin µ … 2k sin µ 3… 2k 6 . h�bbd``b`�N@�� �`~$��@\; ��b��'�L���@�� �3L� endstream }�rH�����ۺZ�0�´ϻ���]׻.��z�ͮ�9�V��4V=T�g�*E�LA �c�L�l�%]��8�ٵ0y:���g_��t}�i�z�7������g09s.K���V�eC��,i$��1�?. ����٥Ū6W�,���������>���کWa�;3�/Z+5���@.+�{��EK���|Uj���tڌȝ>��/�\�h��U/+ӗ�^4k]ߥ�����.q*�@������e�ɢY�w�>mƴ{]@sVn]�ˢ��.㳰_6ˢ3�/:iv���;_,淸�t�.뒍���?����H$*Ar���J�l��ɿrD%e3�l��so������� c8��54�����A�A�8@����A�\CC!/(���l���� RJk�sU R��`��K4�@�\`���. Si est fini et , on note la partie de constituée des parties de de cardinal . <>stream %PDF-1.5 endstream endobj startxref n n n X X X a) (ak + bk ) = ak + bk . %%EOF n!¯1 p e mais c’est une autre histoire... 15 . Dn(µ) ˘ Xn k˘¡n eikµ; 2. La propriété est vraie au rang . Somme de coefficients binomiaux. Développer (1 + √ 2) 5. /Filter /FlateDecode (Pour les plaintes, utilisez <>stream 2 0 obj %���� Feuille d'exercices n°11 : Fonctions à deux variables, et son corrigé. ?�|���o�O���Z�B�g. En particulier, si m = 1, on a, pour tout n ∈ N et tout r ∈ Z, LES MÉTHODES ET EXERCICES DE MATHÉMATIQUES MPSI Les méthodes à retenir Plus de 500 énoncés d’exercices Indications pour bien démarrer Corrigés détaillés Jean-Marie Monier. >> ... Recherche d'exercices par catégorie LYCÉE JANSON DE SAILLY, PCSI 2020–2021 TD CHAP 05 – COEFFICIENTS BINOMIAUX. LES MÉTHODES ET EXERCICES DE ... Faire tout passer dans un membre, puis faire apparaître une somme Soit x ∈ R. 1. endstream Ils permettent notamment de connaitre la valeur d'un polynôme élevé à une puissance quelconque sans effectuer le … << >> Exercices 2 Sommes, produits et coefficients binomiaux ... On peut déduire de cet exercice que un ¡¡¡¡¡! Exercices de Math´ematiques Sommes de coefficients binomiaux (II) Enonc´es´ Enonc´es des exercices´ Exercice 1 [Indication] [Correction] Soient n,p,q,r,s des entiers naturels, avec p ≤ r, q ≤ s, n ≤ r +s. ć�-���3��;A��9.5%����nDbxXd�Lp"ɑ a?�1�I(?��M��(���D��#01-� ��=&11.8xT|||HBBh���+��)�6���zz��'���s/;;|;%3�e�`�a�|��� Feuille d'exercices n°8 : Séries, et son corrigé. 8 0 obj Soient des entiers tels que . <>stream 328 0 obj <>/Filter/FlateDecode/ID[<5D3EA557D6FB064F93857A9CC707B94A><72CFC78EFB996F47AC242A7E81459A0A>]/Index[319 23]/Info 318 0 R/Length 62/Prev 548674/Root 320 0 R/Size 342/Type/XRef/W[1 2 1]>>stream /Height 200 F n(µ) ˘ 1 Calculer (sans utiliser de calculette ni d’ordinateur !) <>stream Exercice 2 Appliquer la formule du triangle de Pascal pour calculer lorsque . x��]Y��~ׯ`�ĭh&��T��Ñ�C��)�$?P�c���0�u���0��������r4q4��>��O4�� �%�$|Y6��m?&̵&e��b=���Ti��~if�6�9�8��t�\�f�8�h�3�̌1���&˒ԬN�j�oC��X�,N刻����a�)�N����� ����g�Z@g�t�]d2:�����~�iv���y�Q{�N������A;L`� Ɯ;[����$N�ԈP��j���3��^��M_J撑pq�� %��52w����z��h��#��A\^� ��r�('Ƨ8瘧p��i���Q���q�t(��[���|��`�9/��S��m����X1����E(i� Desrelationssurlescoefficientsbinomiaux Toutlemondeconnaîtlesrelationssuivantes: n 0 + n 1 + n 2 + + n n = Xn k=0 n k = 2n n 0 n 1 + n 2 n n = Xn k=0 ( 1)k n k = 0 Par la formule du triangle de Pascal (valable si ), avec , Exercice 3 Démontrer par récurrence que si , . Prévenez-moi de tous les nouveaux articles par e-mail. Montrer que P p+q=n Cp r C q s = C n r+s. �s<0���L����� �m�d@��]�#�"�}�|�"B�R��“�C|��c|���C��=ܝ|A��02512�'*�+A������ȌXQH��{��[��}|�����O�8A`��W|T���]\d���K��� �/,��~�n�>�!�I�Q�g͜0:3��33! endobj Feuille d'exercices n°9 : Systèmes, et son corrigé. /Filter /FlateDecode 4 0 obj Montrer que P p+q=n Cp r C q s = C n r+s. Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes? stream %PDF-1.3 <> endstream endobj 320 0 obj <> endobj 321 0 obj <>/Rotate 0/Type/Page>> endobj 322 0 obj <>stream Proposer une interprétation combinatoire pour cette identité. [Noyaux de Dirichlet et de Féjer ♪] (ind)Soient n 2Net µ2R.Simplifier les sommes suivantes : 1. 2. Cliquer ici pour accéder aux indicationsCliquer ici pour accéder aux solutions. Noter que : On peut démontrer (nous l’admettrons ici) la : On sait que la composée de deux bijections est une bijection. ), Entrez-le si vous voulez recevoir une réponse, 1 sommes 2 produits - Christophe Bertault, DM n° 4 à rendre le 6 octobre - MPSI La Martinière Monplaisir, Ensemble N, récurrence et calculs de sommes, Exercices I. Récurrence. /BitsPerComponent 8 <>stream ⊲ Exercice 1.4. les nombres : Ecrire en Python une fonction qui calcule à l’aide de cette formule simplifiée. << /Length 116018 Il est important de connaître cette technique. x��IO�@���sKx�ݞk[��T�-��؆Z�mȢ���f���T*���>$�=�m�y^8�'��G|�2c���y�n�~�)YƵ �;�%3��\3n`� ���)���Xr�Wy��a����b��l=F��"lʜ�:ɸ�$���[N Challenge 59 : une fonction assez peu monotone, Challenge 58 : Maximum d’une fraction d’entiers. Calculer : Xn k=0 n k cos(kx) et Xn k=0 n k sin(kx). endobj 5�T���4@ %C���'yaa�����խ-�X�� �9S��~�), h����îS�����vU�K�֢�s �`���Y�\y /Length 786 �`����{�I��ݍ=Ě�F��� Enregistrer mon nom, mon e-mail et mon site web dans le navigateur pour mon prochain commentaire. endstream 0 Calculer les sommes S = Xn k=1 k n k! Démontrer que R2 n +I 2 n = 2 n. 1 5 0 obj Pour l'exercice 3 j'ai fait un début mais je n'arrive à rien de concrêt.. Pour l'exercice 4 je me demande si il faut développer les factorielle ou partir d'autre part? /Type /XObject (p + 1)! Exercice 1. �r ��yq��""+����F�����Ui�2���:ș�p�/h���M`X�/W?���>p���\���}*�������\*ᗅ�Q&���c VJ�n�#��u �Fx2�罦6'�ح���?��q}�#h���r$vJ�dE�3��t��WЦPܝ�F�[Y �(d�a�t�EWƠ�}�Jw#V�=�����ж�#� wҙOO�|f�����Njo���Af��9�,�h��‘�����p�K\fNy�f-�)D&���L���?�����MA_n���"���b~@^ۇ�+Z;�܎�;��r�PS� �N1^�xXF�)ڧ���L(����.��y��I�~(�2�'�t�P�ʰ�눚j�l �7Քr[�H/n�j$$���Z�@��d�}wi�[��0�K^JP�8���L�h4��iCd�5��5օl�g`�܎y����A���,��[Q��\�+���F|7!>#L�Q!\���n:s�D^ᚧ�� {8ئ���L�Fi��T�-��&����1R|�x/�*�!ime���]袭�Yx4�ŋ����t��V� �~d9�6����d�q��7�.�T���of�»����o梯�́n���yN�H+�l/z��1���'�*��9�aJ%W&˗T��m�'�\cDEF�n�^�� ���"�1v)����^óH�>��������/����DX��w�XgQ0���@��:�{j��`�ɿZ���^��&ؼ%���)��N���,��.��3���p @Ow;,1%�K$J��"=�}89t��?M�F~��8J���!���u4��6ܨ5߹���z|��'~�v��@�Ɗɴ�9?L2B*s�hFA%s�l�1lY����#dƿ)F��飶8���t:T�Z�G�? 1. 16 . xڜ�xTG6��օ�w׍��R�F)-^ endobj << KV Pour , la propriété est évidente car elle s’écrit . h�b```f``����@�� Y8�Y0�$>��¸��r¡F��9셇� endstream A toute application , on associe l’application définie comme suit : On note la n-ème itérée de . �@� !%���&0EJ@ S4N44 �s KC�Gj�B�&�n崴��k�]\@M�``���ف�lv,c���u9&00��I23꛽u*r4az�쨥PZ�vB�]SѲ����̌8�Sbr���>�{�J���t����loB��N���� �$�>�6j��i���q;w��I�ȹ����B�3 R0 �>� Exercice 2 [Indication] [Correction] L’usage des coefficients binomiaux est fréquent, comme l’est l’utilisation de la technique du télescopage. Cest très important pour nous! �3�p�� >> endobj Généralisation – Coefficients multinomiaux . Factorielle et coefficients binomiaux. endstream Nhésitez pas à envoyer des suggestions. ` �= /ColorSpace /DeviceRGB Classe de Psi*, lycée Chaptal, Paris. 1. Sachant que la prof ne les corrigera pas, j'aurais bien voulu votre aide. Saisissez votre adresse e-mail et recevez une notification pour chaque nouvel article ! ��(H�q|g!� Ou savez-vous comment améliorerlinterface utilisateur StudyLib? SOMMES, PRODUITS, COEFFICIENTS BINOMIAUX Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Soient (ak )1¶k¶n , (bk )1¶k¶n et (zi j )1¶i¶m deux fa- 1 milles de nombres complexes, λ ∈ C et p ∈ N. 1) Sans justification, les relations suivantes sontelles vraies ou fausses en général ? Un problème sur les coefficients binomiaux, et son corrigé. La suite (un) est définie par : u0=2 , u1=7 et, Preuve de la formule explicite - Blogdemaths, Exercice On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier, SUITES DEFINIES PAR RECURRENCE 1) La suite est définie par, © 2013-2020 studylibfr.com toutes les autres marques commerciales et droits dauteur appartiennent à leurs propriétaires respectifs. 'C�z�6F����V�. ; 3. h��T�N�0�?�P���8B�J�ni����4���(1+��;�*��Q#�� HA!$a!�a1���K�GDr R�P��I���UD���uQ� ��Н.|x�k�ԛE����`W�'�y�t��-��i⌳�uj�UM�M�~��(��k~G�Y@��&/7�̖.w�K����u�UO��&�u]�p����k|�����(���~�����f�9G��8���lZ�� Démontrer les formules suivantes. stream Feuille d'exercices n°10 : Limites et continuité, et son corrigé. endstream Challenge 41 : La réciproque d’une bijection continue est continue … ou pas ! 1.Préciser le lien entre 2N+1 k et 2N+1 2N+1k 2.. 2.Donner la valeur de On suppose qu’elle est vraie au rang . Les coefficients multinomiaux (ou coefficients du multinôme) sont à la puissance n ce que sont les coefficients binomiaux à la puissance 2. 2��ηO����)�V�- Corrigé : On note si : . Exercice … Il en résulte aussitôt que : On note classiquement l’ensemble des parties d’un ensemble . Soient ... Sommes doubles (1/2) Dénombrements de parties (1/2) Dénombrements Mpsi/Pcsi. Ȍ[��1%fn������v��7&�'��Ƽde��Y���뉆 OQ�{�#B��sX��>:`��Q�z���pE�l������%]�=+J��zW��}Lgz3�3Ia�:j]2 �%>� �%�(gB�̘w��uԥ2�d�Zzr��F���Q� �n�^���e���7�SN�d�­�}�?�s"bt��� o����z�o��fu���S�f�M/���`&�S�t?��`�3�e��lS~}�,_\�ŻM� ���a��j������ݮ��Y���wͻ�4���� ���Z��Q^�����Q�Q����ʂ%���j;]{������ ��˸��4�9�½A�?�{����ϨG�QC�����q�жv�j+r}u]��i3[^���C��4��8f��l�Q�[��XJ�,��hV�̈́E��g� ��3��E�4�>��,W�~$3�K�?J �z"9�D��?vd�i �˅J�"��X:�0����j��[`ۄᆋY,�*a���)�Xy3]KG�߱� ;�O�݅�\�j�YTv��r��A ,�J���ψ�Ih�D$Fv�{��/Q#� �y�!n6ijmT�J��x��"2�=���゙��a�1t�Vޡ4�5!+���ɘ׫y,F�U�y ��x9��kM���q���Z��(�����r��w�H����pKB�6�ף0�m��`�a�t��pDF�����8uq8��=��{l�eb������s����z6�Ĩ€��Ql��C����ɩ�` ��D�+���8�����a��"�::W |w�uRN�qI�7[�D�X�^�v7�j�:6�VZZE�N��]#����L�i�|B�K'���U. � �r1�w�t�k&��J%����x?�WH�?C��J�V�~�w��/뷡C�� T�˩a��i%΃�V������y(��� Elle sert à simplifier des calculs de sommes. L'exercice 1 je pense que c'est une somme telescopique mais les coefficients binomiaux me bloquent. 1 0 obj Elle a été d… $��u��7p�uVǞ�%r���R�k9����GX�=�h�b�[L ������Hr���1��v��,G-��0�?�O�(*��H ��3J_����} %���� /Length 4516 Pour tout n ∈ N, ∑ k = 0 n k 2 = n(n + 1)(2n + 1) / 6. 341 0 obj <>stream En d´eduire la somme des carr´es des coefficients du binˆome. Pour tout entier naturel on désigne par l’ensemble des entiers vérifiant . Corrigé : . �K�x��; %PDF-1.5

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