Identities – Tito Piezas, A En effet, j’ai vu que cette somme serait égale à $-1/12$. It’s nice and short, and very interesting. 1 Srinivasa Ramanujan … ( D'autres exemples sont donnés pour les carrés et les nombres triangulaires. Pour {\displaystyle A_{k}(n)} Pour chaque partition de Nous commen˘cons par la proposition suivante. λ   parties, dans l'ensemble des partitions de ( Inversement, tu as peut-être déjà observé que si tu pars d’une fraction, alors l’écriture décimale est toujours périodique (si le nombre est décimal, on peut alors soit finir en répétant une infinité de 0, soit finir en répétant une infinité de 9). Voir Fermat et Pascal / Newton / Combinaisons. n Une question fondamentale est celle de la signification d’une écriture décimale infinie. n On peut alors remplacer $a$ par 1, mais on voit qu’il y a un problème. Bon, mais quel rapport avec la question que tu m’as posée ? There’s no way that’s true!” — My mom. It allows me to use some of the regular properties of mathematics like commutativity in my equations (which is an axiom I use throughout the article). n Tu as donc des entiers tous positifs dont la somme est négative. Not what you were expecting right? Once again, we get the series we started off with, and from before, we know that A = 1/2, so we use some more basic algebra and prove our second mind blowing fact of today. carré, Application à m ∞ Si on souhaite conserver la signification « les sommes successives se rapprochent du nombre », cela fonctionne précisément pour les $a$ tels que $-1>>, (n3 – 12n2 Bonne réflexion, ravi de pouvoir échanger avec vous et de me faire reconnaître aussi comme Ramanujan!!! 5 On peut également considérer que l’écriture 0,99999999... désigne le nombre que l’on obtient en ajoutant 9 dixièmes et 9 centièmes et 9 millièmes et ainsi de suite. La recherche mathématique en mots et en images. {\displaystyle n<0} Pour les 10 000 premières valeurs, voir la suite, Un calcul bien plus élémentaire permet de majorer, Pour une approche heuristique et progressive, voir, Henry Bottomley's Java and JavaScript examples, Dernière modification le 21 octobre 2020, à 14:59, Décomposition en produit de facteurs premiers, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Partition_d%27un_entier&oldid=175780917, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, Par exemple à l'aide d'une suite finie d'entiers strictement positifs, Il est aussi possible de caractériser chaque partition à l'aide d'une, Une autre approche, qui fait le lien avec les, soit la dernière partie (la plus petite) vaut 1, auquel cas la partition est obtenue à partir d'une partition de, soit toutes les parties valent au moins 2, auquel cas la partition est obtenue à partir d'une partition de. Je dirais que la question n’est en fait pas de savoir si c’est vrai ou faux, mais plutôt de savoir comment on arrive à un tel résultat et ce qu’on peut en faire. n + 89n – 408) (n2 + 12n + 55) + 22 440, (n3 + 12n2 Je vais essayer de préciser comment on en arrive à un tel résultat. – a2b6 + b8), (a + b) ( a10 – a9b + a8b2 Une simple fraction de factorielles. Géométriquement, cela revient à effectuer une symétrie par rapport à la diagonale. | s’inscrire Et peut-être savais-tu déjà tout ce que je viens de raconter. Guilbaud, Nommé ainsi d'après le mathématicien britannique. b²c + ab² + ac² + bc² ), Suite: {\displaystyle n} k Plus précisément[8] : Par le fait même, plus d’une décennie fut gaspillée par certain des plus grands savants du monde à tenter de prouver cette théorie, sans succès. {\displaystyle n} \[9\ 900x = 10\ 000x-100x = 123\ 456-1\ 234 = 122\ 222\quad\text{d'où}\quad x = \frac{122\ 222}{9\ 900}.\] \[3f(1) = \frac{-1}{4}\quad\text{et donc}\quad 1+2+3+4+5+6+\ldots = f(1) = \frac{-1}{12}.\]. Une partition d'un entier Démo, a 5 + 5a4b + 10a3b2 k q \[1 = 0,9999999999999\ldots.\] Ce n’est pas nécessairement la manière dont tu t’y prends, et ce n’est pas gênant du tout d’avoir des approches différentes. p Notation Now for the icing on the cake, the one you’ve been waiting for, the big cheese. La démonstration de cette formule fait intervenir les suites de Farey, les cercles de Ford, et l'analyse complexe. {\displaystyle \lambda _{i}-\lambda _{i+1}} ) Je ne te le dis pas. ( n Before I begin: It has been pointed out to me that when I talk about sum’s in this article, it is not in the traditional sense of the word. Un exemple simple de partition autoduale est donné par un diagramme en 'L', définis pour tout entier impair de la forme ∗ λ ainsi que cette vidéo de Mickaël Launay, celle-ci de science4all ou encore celle-ci du Mathologer. \[-1,\quad -1+2 = 1,\quad -1+2-3 = -2,\quad -1+2-3+4 = 2,\quad -1+2-3+4-5 = -3,\ldots.\] Faut-il avoir peur des maths financières ?   en entiers supérieurs ou égaux à Peut-être t’es-tu déjà amusé à multiplier les deux membres par 3 pour obtenir ( B-C = (1-1) + (-2-2) + (3-3) + (-4-4) + (5-5) + (-6-6) ⋯. 1 729 est également connu sous le nom de « nombre de Hardy-Ramanujan » ; il s'agit du plus petit entier naturel s'écrivant de deux manières différentes comme somme de deux cubes [1] : = + = + Si l’on s’autorise des écritures décimales infinies, on peut considérer que le nombre 1 a également plusieurs écritures n Peux-tu trouver une écriture du nombre 0,147 147 147 147... sous forme de fraction ? ( Est-ce vraiment le cas ? + b6 ) >>>, (a² + b²) (a8 – a6b2 +a4b4 Mais cette fois-ci, je ne te dis pas par quoi il faut multiplier. ) ∗ + q –  10a2b3 https://physicstoday.scitation.org/do/10.1063/PT.5.8029/full/. Que signifie Est-il prévu une extension ou un prolongement de cet article venant épauler cet article de science amusante (le blog) ? Ex: 9, Il s'agit du développement de la somme a+ b à une avec la même valeur de “What on earth are you talking about? Développements, notamment usage en Si un de mes étudiants me disait que cela donne -1, je lui dirais que c’est faux et qu’il n’a rien compris à son cours. λ En notant, pour n et k entiers strictement positifs, p(n,k) le nombre de partitions de n en k parties, la fonction p est récursive et vérifie. Si tu as compris, on peut même compliquer un peu les choses et tenter En effet[20] : décomposition de cet entier en une somme d'entiers strictement positifs, En particulier en mathématiques, ne pas confondre avec la notion de. := pour n = 1   Voir Puis au collège, on apprend que 0,25 est le nombre qui multiplié par 100 donnera 25, et qu’il est égal à un quart : Un article passionnant, facile à lire et à comprendre. Et c’est toujours pour cette raison qu’il y a $360° = 6\times 60°$ dans un tour complet. Savoir que 1+2+3+4+5... est égal à - 1/12 ne nous renseigne pas beaucoup sur la structure de N. Il existe beaucoup de choses curieuses de ce type en mathématiques, et c’est une tendance très en vogue actuellement. Pour participer à Il s’agit d’une des vidéos signalées en introduction.  , où k Pour cette approche une ambiguïté subsiste. n Mon objectif était simplement de te convaincre que la somme précédente vaut 1. Quelle est la raison pour laquelle nous avons l’habitude d’écrire les nombres avec des chiffres représentant les unités, les dizaines, les centaines, les milliers, les dixièmes, les centièmes, les millièmes, etc. factor – Prime Wiki – Diverses factorisations de polynômes ∈ J’ai reçu le message suivant de Tom, un élève en classe de troisième passionné de mathématiques, transmis par un de ses professeurs m’incitant à développer : Ce résultat paraît invraisemblable mais étant donné que ce sujet est sérieux, pourriez-vous demander à un mathématicien ce qu’il en pense ? Alors, vrai ou faux ? ( Il se dit un peu partout que la somme des entiers positifs, 1+2+3+4+…, serait égale à -1/12. n p 2 ) Il existe plusieurs manières équivalentes de définir formellement une partition d'un entier naturel. Calcul:  , avec une première partie valant Nous utilisons des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. 1 Faire toi-même le calcul te permettra de mieux comprendre ce qui se passe. n Elle va donc se rapprocher indéfiniment de la cible sans jamais l’atteindre. So I can substitute A for that right side, do a bit of high school algebra and boom! \[1+2+3+4+5+\ldots = -\frac{1}{12}.\] Au lieu de multiplier par 10, nous avons multiplié par 2 car nous opérons des groupements par paquets de 2. n i C’est faux naturellement. + ab3 + b4 ) >>>, (n – 2) (n – 1) n \[2 x = \frac{2}{2} + \frac{2}{4} + \frac{2}{8} + \frac{2}{16} + \ldots = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = 1+x.\] Pour la première il faut multiplier par 3 et pour la seconde, il faut multiplier par 3/2. (a + b + c) (a² + Somme de deux cubes divisible par somme des \[4f(a^2) - f(a) = f(-a) = \frac{-a}{(1+a)^2}.\] ) Peut-être aurais-je du le mettre plus en évidence. J'ai lu et accepté la Politique de confidentialité *. Désolé, je ne l’avais pas vue. Je pense que tu en as déjà rencontrée. n   si Les champs obligatoires sont indiqués avec *. Pour déterminer ce nombre, je te propose l’astuce suivante. avec 12 qui a six diviseurs (1, 2, 3, 4, Paradoxe: la somme des entiers vaut – 1/12 = – 0,08333 … Premier calcul de Ramanujan.   dont au moins un terme est strictement supérieur à 1, la partition suivante Somme de cinq nombres à la puissance p, Voir Somme de cubes et nombres d'Eisenstein / Nombres de dizaines et unités d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a Xavier Buff. Et donc, ça ne donne certainement pas un nombre négatif. Comment l’expliques-tu ? Merci à Frédéric Millet, Alain Favre, Gilles Dammme et Destin Rodier pour leur relecture attentive et leurs commentaires. n {\displaystyle k} 2 Srinivasa Ramanujan (1887–1920) was an Indian mathematician. In case you missed it, thats A. Les coefficients des termes sont les nombres du triangle de Pascal. k Elle ne se rapprochent donc absolument pas de -1/4. cela sera toujours une approximation car entre 1/3 et 0,33333… il y a toujours une approximation de rang n qui tend vers l’infini et donc 0,333+ 0,666+ 0,001=1 d’où k \[\frac{1}{4} = 0,25 ?\] {\displaystyle n} alors, on ajoute 1 aux exposants et on multiplie: (2 + 1) (1 + 1) = 6. {\displaystyle \lambda _{k}^{*}} Mais on voit également que le seul problème, c’est quand $a$ vaut 1. La liste de toutes les partitions de ) + 89n + 408) (n2 – 12n + 55) – 22 440, (n3 + 12n2 La représentation par les diagrammes de Ferrers permet de prouver que l'ensemble des partitions autoduales est en bijection avec l'ensemble des partitions à parties impaires distinctes. n {\displaystyle m=1} , Une ambiguïté réside dans la signification de et ainsi de suite. If I simplify the right side of the equation, I get something very peculiar: Look familiar? – b)n et (a + b)n, >>> de combinaisons de n éléments pris Par exemple, as tu déjà observé ce qui se passe si tu demandes à ta calculatrice la valeur approchée de $\displaystyle \frac{4}{33}$ ? Then we can start to play around with it. – a3b3 + a2b4 – ab5 +b6), (a + 1) (a6 – a5 + a4 Envoyé par curieux57 . – 233n + 7 320) (n2 + 12n + 377) – 2 759 640, (a + b) (a – b) (a² + ab + b²) (a² – ab + b²), (a + b) (a6 – ab5 + a2b4 – Tu devrais trouver quelque chose du style This essay is part of a series of stories on math-related topics, published in Cantor’s Paradise, a weekly Medium publication. Il suffit de rajouter 2. Euler a remarqué que la série formelle génératrice de p. est égale au produit infini suivant[9] de séries (formelles) géométriques : En effet, dans ce produit, le coefficient du terme de degré 5 = Les techniques des diagrammes de Ferrers permettent aussi de prouver des résultats comme les suivants : Ramanujan a démontré trois congruences, dont la première est que p(5n + 4) est divisible par 5. Hendrik Casimir predicted that given two uncharged conductive plates placed in a vacuum, there exists an attractive force between these plates due to the presence of virtual particles bread by quantum fluctuations. Un diagramme de Ferrers[3] est constitué d'un ensemble de points disposés aux sommets d'un quadrillage sur lequel sont spécifiées une première ligne et une première colonne orientées. ∗ Ce texte est élaboré à partir de la réponse que j’ai faite à Tom. ( n Je te propose maintenant de considérer la somme On pourrait également l’écrire (tu as certainement vu les puissances) : été fourni. I also want to say that throughout this article I deal with the concept of countable infinity, a different type of infinity that deals with a infinite set of numbers, but one where if given enough time you could count to any number in the set. l'exposant. La vidéo explique les calculs du grand mathématicien indien Srinivasa Ramanujan qui sont à […] \[0,45\ 45\ 45\ 45\ 45\ldots.\] Les mathématiciens (et les informaticiens, qui eux comptent en binaire à l’aide de 0 et de 1) considèrent comme tout aussi légitime de demander : que vaut la somme suivante ? {\displaystyle (\cdot )_{\infty }}   (ou However, it does open the door to proving a lot of interesting things, including a very important equation for quantum mechanics and even string theory. 0 x=a/(1-a) n’est pas correct, c’est environ egal et encore si on prend un nombre a entre 0 et STRICTEMENT PLUS PETIT que 1, donc remplacer par 1 ou 2 est une erreur. m k = Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. \[x= \frac{a}{1-a}.\]. | mot de passe oublié ? {\displaystyle k} π ». ∞ En particulier, cela implique que cette dualité est involutive : toute partition est duale de sa partition duale. \[0,25 = \frac{2}{10} + \frac{5}{100} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}.\]. p > \[\frac{1}{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^3 + \left(\frac{1}{3}\right)^4 + \ldots\] ) Le fait de lire en lignes un diagramme de Ferrers tracé en colonnes, ou réciproquement, permet de définir la partition conjuguée[5] (ou duale[réf. n  . certaine puissance. \[\frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^4 + \ldots = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots.\]   définies en termes de mesure (voir supra). For now, we move onto proving #2: 1–2+3–4+5–6⋯ = 1/4. ( {\displaystyle m>n} ( 2 Et donc l’exemple avec …….9999+1 = …000000 est faux car au tout début juste après le signe = on doit avoir un 1, ceci est obligatoire à n’importe quel rang n avec n tendant vers l’infini!!! Est-ce vraiment le cas ?   si   dans l'ordre décroissant est donnée par un algorithme itératif. Et si jamais on effectue un prolongement analytique (unique)] de la fonction zeta de Riemann dans le plan complexe, on obtient que la somme des entiers positifs jusqu'à l'infini vaut -1/12, mais ça c'est une autre histoire…  , tandis que la plus petite est celle qui est composée de Je lui demandai si il savait quel était le suivant. La quantité de facteurs est égale à la quantité de diviseurs de ( n On lui attribue le résultat suivant : « L'entier 1 729 est le plus petit entier naturel à pouvoir se décomposer en somme de deux cubes de deux façons différentes. k \[\frac{1}{3} = 0,3333333333333\ldots\]   d'entiers naturels telles que 2 Une congruence de Ramanujan. développer (a + b)n ou (a + b + c + …)n , etc. 1 n Don’t believe me? seule + 1)                >>>, (2n + n2)2 0 En effet, le diagramme de chaque partition autoduale peut être décomposé en une suite de diagrammes en 'L' de taille strictement décroissante mais toujours impaire. Tu as vu sur internet que la somme des entiers positifs vaut -1/12 et tu te demandes ce que j’en pense. ce qui donne k {\displaystyle (a)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})} » On cherche tous les entiers positifs p et q tels que :p3 + q3 = 1 729. Pour les $a$ tels que $-1>>, n (n + 1) (n + 2) The Ramanujan Summation also has had a big impact in the area of general physics, specifically in the solution to the phenomenon know as the Casimir Effect. Ce n’est pas la réponse que j’aurais donnée si tu m’avais demandé ce que vaut cette somme, ce n’est pas non plus ce que j’enseigne à mes étudiants de l’université, mais pourquoi pas. q − La correction énigmatique –1/24, découverte par Ramanujan, fait que p(200) est la partie entière de cette expression en ne prenant que les cinq premiers termes du développement[12]. \[\frac{1}{9} = 0,111111111\ldots = \frac{1}{10} + \frac{1}{100} + \frac{1}{1\ 000} + \frac{1}{10\ 000}+\ldots.\] Piste verte ou bleue : un domaine skiable pour lire pendant l’été. {\displaystyle i} 6, 12), il ya six facteurs. Ces nombres, les coefficients Merci What the frac? p a As-tu déjà remarqué que cette égalité n’est pas la seule dans son genre ? https://youtu.be/jcKRGpMiVTw, Bonjour, 2 Cependant, s’il me répondait que le résultat est -1/12, je lui demanderais peut-être pourquoi -1/12 et pas un autre nombre. ∞ \[a\times x=a\times (a+a^2+a^3+a^4+a^5+\ldots) = a^2+a^3+a^4+a^5+a^6+\ldots = x-a\] Colloque Wright « L’Art des maths » (2-6/11), Forum Emploi mathématiques (virtuel, 22/10), Fête de la science, exposés (Strasbourg, 5-10/10), En piste pour les mathématiques ! En théorie des nombres, une branche des mathématiques, une somme de Ramanujan, habituellement notée c q (n), est une fonction de deux variables entières q et n, avec q ≥ 1, définie par la formule : = ∑ = (,) =,où le pgcd est le plus grand commun diviseur.La somme est donc effectuée sur les classes de congruence inversibles modulo q.

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